中图分类号：G4 文献标识码：A
摘 要：给出了高斯函数的定义、性质、函数图象的特征，讨论了其应用，并将其做了推广.
关键词： 高斯函数、广义高斯函数
一、高斯函数 的一些性质
高斯函数 ,在数论中是一种极为重要的函数, 但它的运用却并不仅限于在数论中, 在数学的许多分支及其它学科领域中有广泛的应用, 这些应用均显示了该函数的优越性. 本文主要从高斯函数的定义出发类比讨论了广义高斯函数的一些基本性质及其有关的积分问题,并给了一些关于广义高斯函数的例子.
定义1 表示不超过 的最大整数, 则函数 称为高斯函数.
我们记 称为 小数部分, .
由高斯函数的定义立刻可以得到如下简单的性质:
定理1 设 ,我们有
(1) . (2) 若 则 .(3) .
(4) (5) .(6) 或 . (7) .
下面再来讨论高斯函数 的图像及 的图像和性质.
对于函数 ,如何做出它的图像呢?我们先来分析一下高斯函数 的图像的基本性质和特征.
(1)由 的性质知 的图形在 的图形的下方.
(2) 由 的性质知 的图像是一组阶高为1的平行于 轴的平行线段,这组平行线段呈阶梯形.
可见函数 是一个不减(非单调) 的非周期的函数,其图像如下(a)
(a)
定理2 设 ，则 是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如(b).
(b)
(二)高斯函数的拓广
下面讨论广义高斯函数的问题
定义2 假定函数 为定义在区间I上的连续函数,我们用记号 表示不大于 的最大整数,叫做广义高斯函数,其中 为自变量, 为基函数.
若 = ,则广义高斯函数 便写成高斯函数 了,可见高斯函数为广义高斯函数的特例.如果假定 , 为闭区间I上的连续函数,则有关高斯函数的性质就可以推广到广义高斯函数中来.
以下再来讨论一下广义高斯函数的图像，首先来分析一下 的图像的特征.
(1)由函数 的性质 ,所以广义高斯函数 的图像在基函数
图像的下方.
(2)由函数 的定义知 的图像是一组阶高为1的平行线段.
例3作出基函数为 的广义高斯函数的图像.
某些广义高斯函数的积分问题及有关的其他问题
高斯函数 的积分
对于高斯函数 的积分，由定义知高斯函数是一个具有第一类间断点的函数，只要在积分区间上有有限个这类间断点，则根据定积分的可积性知函数 在积分区间上可积.
例4求积分 ( 为有限的自然数).
利用以上积分的结果很容易得到 的积分,即
例5求积分 .
有关高斯函数的应用是比较多的,以上关于高斯函数和广义高斯函数的讨论只是一个开始,如果進一步对其进行讨论,会得到一些更好的结论.
参考文献
[1] 新编高中数学大观.南京大学出版社,1992.
[2] 潘承洞,潘承彪.初等数论.北京大学出版社,1992.
[3] 华东师大数学系编.数学分析.(下册).高等教育出版社,1991.
[4] 钱吉林.数学分析题解精粹.崇文书局,2003.
