高 数 （ 下 ）
小 结
一、微分方程复习要点
解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法 求出其通解.
一阶微分方程的解法小结：
方程 编号 类
型 一 般
形
式 解
法 备
注 1 型 可分离变量方程 ) ( ) ( y x y 或 分离变量法 有些方程作代换后可化为 1 型 2 型 齐次方程 ) (xyy 或 令 化 或yxuxyu 为 1 型求解 有时方程写成) (yxx 令 uyx 化为 1 型求解 3 型 线性方程 或 1． 常数变易法 2． 凑导数法：同乘 有时方程不是关于y y , 线性方程，而是关于 x x , 线性方程 4 型 贝努里方程 或 令 z y 1或 z x 1化为3型求解 有时方程不是关于y y , 的贝努里方程，而是关于 x x ,
贝努里方程 5 型 全 微 分 方 程 0 ) , ( ) , ( dy y x Q dx y x P其中
yPxQ ( , ) u x y 为原函数 有时乘以一个积分因子可化为 5 型 二阶微分方程的解法小结：
类
型 特
征
求 解 方 法
备
注
缺, x y n 次积分
求解见上册
齐 次方 程" "0 y py qy 的 通解 y为：
判别式 两特征根情况 通
解
相异实根1r ，2r
二重实根0r
共轭复根 i r , 2 1
非齐次方程 ( ) y py qy f x 的 特解y 的形式为：
x f 的形式 特征根情况 y 的形式
r 不是特征根
r 是 k 重特征根
i 不是特征根
i 是特征根
主要: :
一阶 1 1 、可分离变量方程、线性微分方程的求解；
2 2 、二阶常系数齐次线性微分方程的求解；
3 3 、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
缺 y
令" " ", y p y p ，降为一阶方程 降价后是关于 p， x 的一阶方程
缺 x
令 y p y " ， dydpp y"降为一阶方程 降价后是关于 p ,y 的一阶方程 p y fdydpp ,
, p q 常系数 通解 y y y
y y及 见下表
二、多元函数微分学复习要点
一、偏导数的求法
1、显函数的偏导数的求法 在求xz时，应将 y 看作常量，对 x 求导，在求zy时，应将 x 看作常量，对 y 求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式.
2、复合函数的偏导数的求法 设 v , u f z ， y , x u ， y , x v ，则 xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz 几种特殊情况：
1）
v , u f z ， x u ， x v ，则dxdvvzxududzdxdz
2）
, z f x v ， y , x v ，则xvvfxfxz，yvufyz 3）
u f z ， y , x u 则xududzxz ，yududzyz 3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况 设 y , x z z 是由方程 0 z , y , x F 唯一确定的隐函数，则
0 zzxFFFxz，
0 zzyFFFyz 或者视 y , x z z ，由方程 0 z , y , x F 两边同时对 ( ) x y 或 求导解出
( )z zx y 或 . 2）方程组的情况 由方程组 00v , u , y , x Gv , u , y , x F两边同时对 ( ) x y 或 求导解出 ( )z zx y 或 即可. 二、 全微分的求法
方法 1：利用公式 dzzudyyudxxudu
方法 2：直接两边同时求微分，解出 du 即可.其中要注意应用微分形式的不变性：
三、 空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法
1）设空间曲线Г的参数方程为
t zt yt x，则当0t t 时，在曲线上对应点 0 0 0 0z , y , x P 处的切线方向向量为 0 0 0t , t , t T" " " ，切线方程为 法平面方程为
00 0 0 0 0 0 z z t y y t x x t" " "
2）若曲面 的方程为 0 z , y , x F ，则在点 0 0 0 0z , y , x P 处的法向量 0P z y xF , F , F n ，切平面方程为 法线方程为
0 0 000 0 000 0 00z , y , x Fz zz , y , x Fy yz , y , x Fx xz y x 若曲面 的方程为 y , x f z ，则在点 0 0 0 0z , y , x P 处的法向量 10 0 0 0 , y , x f , y , x f ny x，切平面方程为
法线方程为
100 000 00 z zy , x fy yy , x fx xy x 四、 多元函数极值（最值）的求法
1 无条件极值的求法 设函数 y , x f z 在点 0 0 0y , x P 的某邻域内具有二阶连续偏导数，由 , 0xf x y ， , 0yf x y ， 解 出 驻 点 0 0, x y ， 记 0 0y , x f Axx ， 0 0y , x f Bxy ， 0 0y , x f Cyy . 1）若20 AC B ，则 y , x f 在点 0 0, x y 处取得极值，且当 0 A 时有极大值，当 0 A 时有极小值. 2）
若20 AC B ，则 y , x f 在点 0 0, x y 处无极值. 3）
若 02 B AC ，不能判定 y , x f 在点 0 0, x y 处是否取得极值. 2 条件极值的求法 函数 y , x f z 在满足条件 0 y , x 下极值的方法如下：
1）化为无条件极值：若能从条件 0 y , x 解出 y 代入 y , x f 中，则使函数 ( , ) z z x y 成为一元函数无条件的极值问题. 2）拉格朗日乘数法 作辅助函数 y x y x f y x F , , , ，其中 为参数，解方程组 求出驻点坐标 y , x ，则驻点 y , x 可能是条件极值点. 3 最大值与最小值的求法 若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在
这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值. 主要: :
1 1 、 偏导数的求法与全微分的求法；
2、 空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法
3、 最大值与最小值的求法
三、多元函数积分学复习要点
七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：
积分类型 积分记号 定义及几何意义 积分区域 积 分 元 素 被积函数 一重积分
曲边梯形面积 区间 [ , ] a b
dx = = x
一元函数 二重积分
曲顶柱体体积
平面区域 D D
二元函数 三重积分
空间区域
三元函数 第 一 类 曲 线积分
平面或空间曲线 L
ds=2 2) ( ) ( dy dx
=2 2212 2( ) ( )x y dtdx yr r d 二 元 或 三元函数
第 二 类 曲 线积分
平面或空间曲线 L
二 元 或 三元函数 第一类 曲面积分
空间曲面
三元函数 第 二 类 曲 面积分
空间曲面
三元函数 计 算 方 法
应
用
转动惯量XI
重心 x
其它（面积.体积.功等）
见 上
册
表后*所示 1 1 ） ) () (21xxbafdy dx
or ) () (21yydcfdy dx
2)
) () (21) sin , cos ( rrrdr r r f d
1 1 体 积 xyDd z z V ) (1 2
2 2 ）曲面面积
A= xyDy xdxdy z z2 21
1) ) , () , (21y x zy x z Dfdz dXY
2) ZDccfdxdy dz2
3) 柱面坐标法
4）球面坐标法 xI = = dv z y ) (2 2
体积 V= dv
1 1 ）2 2( ( ), ( )) f t t x y dt 2) dx y x y x fba 21 )) ( , (
4 4 ）化为第二类曲线积分 xI = = Lds y 2
x = =LLdsds x
曲线所围面积 A=Lydx xdy21
dt t t t f ) ( )) ( ), ( ( ) 1
2）
dx x y x fba)) ( , ( 3） d r r r f ) sin( ) sin ) ( , cos ) ( (
4）
Lds y x f cos ) , (
5 ）
green 公式计算法
6）折线计算法（积分与路径无关时）；7）连续变形原理计算法； 8）
N L 公式计算法
1 1）
）
功
W= LQdy Pdx
求二元函数的“原函数”
xI = = ds z y ) (2 2
x = =dsds x
面积 S= ds
* * 定积分的几何应用
定积分应用的常用公式：
(1)面积 dx x g x f Sba
（ X 型区域的面积）
d r r S 212221
（ 型区域的面积）
(2)体积 dx x A Vba
（横截面面积已知的立体体积）
2 bxx aV f x dx
（ ( ), , , 0 y f x x a x b y 所围图形绕 x 轴旋转所得的立体体积）
xy2baV x f x dx
（ ( ), , , 0 y f x x a x b y 所围图形绕 y 轴旋转的立体体积）
2( )by c aV f x c dx
（ ( ), , , y f x x a x b y c 所围图形绕轴 y c 旋转的立体体积）
(3)弧长
"2"2 "22 "21baba t ty dxS x y dtr r d 直角坐标形式参数方程形式极坐标形式
计算时注意：（1）正确选择恰当的公式；（2）正确的给出积分上下1）直接代入法
xyDdxdy y x z y x f )) , ( , , (
2 2 ）Gaus 公式计算法 ； 3）投影转移法
限；（3）注意对称性使问题简化；（4）注意选择恰当的积分变量以使问题简化． 计算多元函数的积分时要注意利用对称性简化积分的计算：
1）、对二、三重及第一类的线面积分，若积分区域关于变量 x 对称，则当被积函数关于 x 为奇函数时，该积分为 0，当被积函数关于变量 x 为偶函数时，则该积分为相应一半区域积分的二倍. 2）、对第二类的线面积分，关于积分变量的对称性理论与上相同，关于非积分变量 的对称性理论与上相反.
3）、若积分区域 , x y 的地位平等（即将表示区域的方程 , x y 互换不变），则将被积函 数中 , x y 互换积分不变.此称之为轮换对称性.
主要
1、交换二次积分的积分次序； 2、化三重积分为球面坐标或柱面坐标下的三次积分； 3、 green 公式计算法； 4、Gaus 公式计算法； 5、两曲面所围体积与旋转体的体积计算． 6.平面图形面积的计算。
所以：( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01 ( ) 1 ( )z z p x p yp y p x p y z u p x z ux y u u
