凌凯，姜丽，姚治海，于梓麒
（长春理工大学 物理学院，长春 130022）
光子晶体是一种折射率呈周期性变化的材料，这个概念最早是在1987 年，由Yablonovitch[1]和John[2]分别独立提出的。光子晶体按构成介质在空间的排布方式可以分为一维、二维和三维光子晶体。一维光子晶体具有结构简单、参数容易调整、制作工艺成熟等优点；
二维、三维光子晶体结构复杂，制作方法繁琐，但禁带效应最好[3]。由于一维光子晶体计算方法简单，可以严格计算，而且一维光子晶体也可以具有制造出不少二维、三维光子晶体所制备器件的能力[4]。因此，一维光子晶体的研究依然具有很高的价值。
与电子在半导体材料的周期性势场下形成能带结构相类似，具有周期性结构的光子晶体对不同频率的光有阻断作用，从而使光在光子晶体中传播产生能带结构，处于带隙内的光则不能通过光子晶体而被反射[5-6]。在周期性结构的光子晶体中引入一层不同的介质，破坏周期性结构，光传播到这个位置时就会被局域限制，具体表现为在透射谱中出现一个带宽很窄且透射率很高的透射峰（缺陷模），在一定条件下，缺陷模处光的透射率可以达到100%。因此通过在光子晶体中引入缺陷的方法可以实现对光的控制，使得用光子取代电子来传输、处理和存储信息成为可能[7]。目前，光子晶体的应用主要有滤波器、光子晶体光纤、光子晶体激光器、无损耗光子晶体波导、光子晶体偏振器等[8-9]。对光子晶体滤波特性的研究趋向于高性能、高品质、滤波范围广等方向。潘继环等人[10]研究了对称双缺陷光子晶体，设计了一种高性能、高品质的新型双通道光学滤波器件。高越等人[11]设计了一种一维光子晶体，可实现在单、双通道滤波之间切换。王周益等人[12]设计了一种高效率的四通道滤波器，传输效率可达85%。
石墨烯是一种由一层碳原子构成的二维蜂窝状晶体材料，它的厚度约为0.34 nm，是世界上最薄的半导体材料。同时石墨烯具有质量轻、延展性好、硬度强等特点[13-15]。由于石墨烯独特的晶格结构，使得石墨烯具有电子高迁移率、电磁波低吸收等特点[16]。单层石墨烯对可见光的吸收率在2.3%左右[17]。Deng 等人[18]研究了一种新型梳状石墨烯纳米带宽带滤波器，可以实现中红外波长的带通滤波，并且可以有效地调整通带中心和带宽。Belhadj 等人[19]研究了一维石墨烯缺陷介电光子晶体的太赫兹光谱特性，研究发现透射谱中出现梳状共振峰，并且数量密度随着结构周期数的增加而增加。Jahani 等人[20]提出了一种含石墨烯的一维光子晶体，该结构可实现超窄带多通道滤波。Sattarian 等人[21]研究了一维混合石墨烯光子晶体，在可见光范围内获得适用于广泛入射角的高透射峰。王飞等人[22-23]基于电磁场边界条件和相位匹配，采用全新的方法推导了石墨烯界面传输矩阵，并进一步给出了反射系数与透射系数，该传输矩阵适用于各种含石墨烯界面的情况。
基于石墨烯的特殊性质，将石墨烯作为缺陷层嵌入到光子晶体中，来实现对透射光强度的控制，解决三通道滤波器中各通道滤波强度不易调节的问题。利用传输矩阵法研究了含有三个缺陷层的一维光子晶体的光学特性。并用mathematica 软件对该结构的透射特性进行了模拟。得出了透射峰位置、宽度、高度随光子晶体的周期数、介质层的厚度等因素的变化规律，实现了对透射峰的调控。该研究结果具有重要的实践意义，可以根据需要控制介质层厚度和周期数来设计三通道滤波器，并有望在光波分复用通信系统中发挥作用。
光子晶体的滤波特性与透射谱中的缺陷模相关，缺陷模又与光子晶体的内部缺陷有关。理论研究表明，对于含有N个缺陷的光子晶体，其缺陷模频率方程恰好有N个根，因此光子晶体禁带中出现缺陷模的个数与引入缺陷层的个数相等[24-25]。传统的光子晶体是由折射率为实数的理想介质材料构成，这种正常折射率的材料不会对光产生吸收，即这种材料的光子晶体对透射峰的强度不易控制。石墨烯不同于传统的材料，对光可以产生吸收，因此在光子晶体中加入石墨烯可以实现对透射峰强度的调节。
为了保证结构的对称性，选择替换式的掺杂方式将石墨烯加入到光子晶体中，其准周期结构为(AB)mG(BA)nG(AB)nG(BA)m。其中A 为低折射率材料，B 为高折射率材料，G 为石墨烯，m为外层周期数，n为内层周期数。结构模型如图1 所示。在这种结构的光子晶体中，引入了三个石墨烯缺陷层，理论上在禁带中将得到三个缺陷模，采用这种光子晶体的滤波器便能实现三通道滤波。
图1 石墨烯缺陷光子晶体结构示意图。
下面以TE 模为例来研究光子晶体的光学特性。若光从左侧向右进入光子晶体，光波进入光子晶体可以看成电磁波进入介质层并在介质中传播，首先来看光穿过单层介质的情况，设第j层入射面上光波的电场强度与磁场强度为(Ej,Hj)，出射面上光波的电场强度与磁场强度为(Ej+1,Hj+1)，根据麦克斯韦方程组和边界条件可以得出：
其中，σG为石墨烯的表面电导率，它是角频率（ω）、化学势（μc）、电子弛豫时间（τ）和温度（T）的函数，由Kobu 公式[26]可知：
其中，i为虚数单位；
π 为圆周率；
e为元电荷电量；
ћ为约化普朗克常数；
kB为玻尔兹曼常数。由于σintra取决于能带内的能量，能带内的能量占能量主要部分，所以在计算时只考虑σintra这一项，而忽略σinter项。
光波在整个光子晶体中的传播可以用一个总的传播矩阵来描述，将对应各层的传输矩阵相乘就可以得出整个光子晶体的传输矩阵。
其中，η1与ηN+1为光子晶体两外侧介质的光学导纳。
透射率T、反射率R和吸收率A分别为：
假设一维光子晶体处于空气中，其组成介质都是非磁性物质。研究发现，缺陷模会随着介质折射率的增大发生红移，但是整体变化不大[27-28]，所以将介质折射率作为一个可调参数的意义不大，因此将材料A 与B 的折射率取为固定值。取A 材料为二氧化硅（SiO2），忽略吸收系数后其折射率与相对电容率为nA= 1.45、εrA= 4.5；
取B 材料为硅（Si），忽略吸收系数后其折射率与相对电容率为nB= 3.42、εrB= 12。为了便于观察，将中心波长取为可见光的中间值，即λ0=580 nm。两介质层的光学厚度分别取中心波长的四分之一，，即dA=100 nm，dB=42.40 nm。对于石墨烯材料，化学势、电子弛豫时间和温度分别取为μc=0.5 eV、τ=0.5 fs、T=300 K、dG=0.34 nm。对于空气缺陷光子晶体，将公式（7）中的MG替换成了相同厚度的空气层的传输矩阵。
2.1 空气缺陷与石墨烯缺陷光子晶体光学特性
为了研究光子晶体中石墨烯对光传播的影响，分别计算了在相同参数下空气缺陷光子晶体与石墨烯缺陷光子晶体的透射率、反射率和吸收率。如图2 所示，图中使用的参数为外层周期数m=3、内层周期数n=2、入射角θ=0°。
图2 空气缺陷与石墨烯缺陷光子晶体的光学特性谱线
从图2（a）与图2（d）中可以看出，在光子晶体中引入三个缺陷，透射谱中均出现三个缺陷模，与文献[25]中的结论一致。透射谱中一个缺陷模位于中心波长处，另外两个缺陷模分别位于中心波长的两侧，且关于中心波长对称。石墨烯缺陷光子晶体与空气缺陷光子晶体的缺陷模不同，对于空气缺陷光子晶体，三个缺陷模处的透射率均达100%；
而石墨烯缺陷光子晶体三个缺陷模处的透射率各不相同，中心波长处的透射率略低于两侧缺陷模处的透射率。石墨烯缺陷光子晶体对特定波长的光有一定的反射和吸收，如图2（e）、图2（f）所示，吸收峰位于三个缺陷模处，中心波长处的吸收率接近40%。在石墨烯缺陷光子晶体中，石墨烯的加入产生了反射和吸收，最终使得透射谱中透射峰降低。
传统的光子晶体介质的折射率全部为实数，这种材料对光不产生吸收。而石墨烯不同于传统材料，其表面电导率为复数，对光可以产生吸收。对于石墨烯缺陷的光子晶体，当光进入石墨烯两侧介质层所形成的微法布里-珀罗谐振腔后，不断在腔体内发生反射，每反射一次都要经过一次石墨烯层。因此，这种微腔结构大幅度提高了石墨烯对光的吸收率。因此，在设计光子晶体滤波器的时候可以通过加入石墨烯缺陷来调节不同通道的滤波强度。
2.2 入射角对透射率的影响
光子晶体在做滤波器的同时，常常要考虑光子晶体对入射角的敏感程度，为了研究入射角对该结构光子晶体的滤波特性的影响，计算了在0°～90°角入射下光子晶体的透射率。如图3所示，图中所使用的参数外层周期数m=3、内层周期数n=2。
图3 不同入射角下透射率随波长变化关系
从图3 中可以看出，透射谱中的缺陷模随入射角的增大发生蓝移，三个透射峰蓝移的速度不同，两侧的透射峰蓝移速度较快，中间的透射峰蓝移速度较慢，整体表现为中间透射峰向右侧透射峰靠近。透射峰的高度随入射角也有所变化，左侧透射峰的高度逐渐增加，右侧和中间透射峰的高度逐渐减小，在入射角为78.6°时消失。因此在大角度入射时可以实现单通道窄带滤波。由可以看出，相位不变的情况下，cosθ与λ成正比，当入射角增大时cosθ减小导致透射峰发生蓝移。因此，该结构的光子晶体对入射角度比较敏感，根据这个特点可以设计动态调谐滤波器。
2.3 介质层光学厚度对透射率的影响
光子晶体滤波器的滤波通道受介质层光学厚度的影响，为了研究介质层光学厚度对滤波通道的影响，分别研究了在光线垂直入射的情况下，同时增大A、B 层光学厚度与增大A 层光学厚度减小B 层光学厚度两种情况下光子晶体透射谱的变化规律。
在保持A、B 层的光学厚度之比不变的情况下，改变A、B 层的光学厚度绘制光子晶体透射率随波长变化关系，如图4 所示，绘图范围取原介质层光学厚度的0.8～1.2 倍，图中使用的参数外层周期数m=3、内层周期数n=2、入射角θ=0°。研究发现三个透射峰的相对位置不变，高度也不变，整体随介质层厚度的增加发生红移。并且红移速度与介质层厚度呈线性关系。其原因是光学厚度的增加，导致中心波长的增加，但周期性重复单元不变，缺陷位置不变，所以透射峰的相对位置不变，整体发生红移。因此，在设计滤波器的时候可以通过改变介质层厚度调节滤波通道的整体位置。
图4 不同中心波长下透射率随波长变化关系
在保持A、B 层的光学厚度之和不变的情况下，改变A、B 层的光学厚度之比绘制光子晶体透射率随波长变化关系，如图5 所示，绘图范围取A、B 层光学厚度之比为（0.6∶1.4）～（1.4∶0.6），图中使用的参数外层周期数m=3、内层周期数n=2、入射角θ=0°。研究发现，中间透射峰的位置随着光学厚度之比的增加发生蓝移，中间透射峰的高度随着光学厚度之比的增加逐渐减小，当光学厚度之比超过1∶1 后逐渐增加；
外侧两透射峰的位置关于593 nm 对称，左侧透射峰的高度由接近1 开始逐渐减小，当光学厚度之比超过1∶1 后高度开始逐渐增大，半高宽度逐渐增大；
右侧透射峰的高度逐渐减小，当光学厚度之比超过1∶1 后高度逐渐增大到接近1，半高宽度逐渐减小。在该结构中，周期性重复单元总光学厚度不变，所以中心波长不变，但是受石墨烯表面电导率的影响，外侧两个透射峰的对称中心位置偏移至593 nm 处；
中间透射峰的位置与两介质层的相位差有关，两介质层光学厚度之比改变，相位差就会改变，最终导致中间透射峰蓝移。因此，在设计滤波器的时候可以调节介质层的光学厚度比来改变中间滤波通道的位置。
图5 不同光学厚度之比下透射率随波长变化关系
2.4 周期数对透射率的影响
由前文可知，同时增大介质层的光学厚度无法调节三个滤波通道之间的距离，改变介质层的厚度比无法同时调节透射峰的线宽，提高滤波质量。因此，研究了在垂直入射的情况下周期数（m、n）对光子晶体透射率的影响，计算了不同周期数下光子晶体的透射率，如图6 所示，所使用的参数为图6（a）外层周期数m=3、内层周期数n=1、2、3；
图6（b）内层周期数n=2、外层周期数m=2、3、4；
图6 不同周期数下透射率随波长变化关系
在透射谱中，透射峰随周期数发生明显改变，如图6 所示。研究发现外层周期数m决定透射峰的半高宽度，透射峰的半高宽度随外层周期数m的增大而减小。内层周期数n决定外侧两透射峰的位置，外侧两透射峰随内层周期数n的增大向中心峰靠近。继续增大内层周期数n时，三个透射峰可以合并成一个透射峰。周期数的变化除了会引起透射峰宽度与位置的变化外，透射峰的高度也会发生变化。透射峰的高度随周期数的增大而降低，外层周期数m对透射峰高度的影响更加明显。
对于透射峰位置的变化可以用固体物理中的紧束缚方法来分析，当内层周期数增大时，两个缺陷层之间的距离变大，缺陷层之间无相互作用，缺陷模的波函数无重叠，因此缺陷模频率是简并的。当内层周期数减小时，两个缺陷层之间的距离变小，缺陷层间相互作用加强，缺陷模的波函数发生重叠，最终导致缺陷模频率发生分裂。研究发现外层周期数m的增加，在一定程度上增大了光子的散射概率，使光波的反射率提高，最终导致透射峰的宽度变窄。同时，如果外层周期数m过多，电磁波的损耗会增大，从而使透射峰的高度降低。因此，在设计三通道滤波器的时候，可以通过改变内层周期数n来调节滤波通道的位置，增加外层周期数m可以提高滤波器的滤波质量，同时为了保证滤波效果周期数不宜过大。
利用传输矩阵法研究了三缺陷光子晶体的带隙结构和光学传输特性，分析了透射谱中缺陷模在周期数、入射角度、介质层厚度下的变化规律。结果表明：具有(AB)mG(BA)nG(AB)nG(BA)m准周期结构的光子晶体在可见光的范围内透射谱中有三个透射峰，石墨烯的引入对可见光有一定的吸收，使透射峰的高度降低。透射峰会随着周期数（m、n）、入射角度（θ）、介质层光学厚度（nAdA、nBdB）的变化发生明显的改变。透射峰的半高宽度与外层周期数有关，外层周期数越大，透射峰的半高宽度越小；
透射峰的位置与内层周期数有关，内层周期数越大，三个透射峰靠得越近。当入射角增大时，透射峰将发生蓝移；
保持A、B 层的光学厚度之比不变的情况下，增大A、B 层的光学厚度，三个透射峰的位置与高度不变，整体发生红移；
保持A、B 层的光学厚度之和不变的情况下，改变A、B 层的光学厚度之比，中间透射峰的位置随着光学厚度之比的增加发生蓝移，高度先减小后增加；
外侧两透射峰的位置关于593 nm 对称，高度先减小后增加，左侧透射峰的半高宽度逐渐增大，右侧透射峰的半高宽度逐渐减小。因此，对于石墨烯缺陷光子晶体，通过调节周期数、光学厚度等参数可以实现不同强度的三色滤波，为滤波器的设计提供了相应的理论指导。
